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工学]人工智能第三章

发布时间:2019-08-25 18:59 来源:未知 编辑:admin

  第三章归结推理方法 概述 命题逻辑的归结法 谓词归结子句形 归结原理 归结过程的策略控制 Herbrand定理 3.1.1命题 命题:能判断真假(不是既真又假)的陈述句。简单陈述句描述事实、事物的状态、关系等性质。 例如:1. 1+1=2 到冥王星去渡假。命题通常用字母p 表示;判断一个句子是否是命题,有先要看它是否是陈述句,而后看它的真值是否唯 一。以上的例子都是陈述句,第4句的真值现在是假,随着人类科学的发展, 有可能变成真,但不管怎样,真值是唯一的。因此,以上4个例子都是命题。 而例如: x+y

  10等等句子,都不是命题。 3.1.2命题逻辑公式 定义: 原子命题:不能再分解的命题称为原子命题。 合式公式:原子命题是合式公式,连接词联结的合式公式的组合也是合 式公式( 命题公式)。 常用的联结词: 命题表示公式(1)将陈述句转化成命题公式。 如:设“下雨”为p,“骑车上班”为q,, 1.“只要不下雨,我骑自行车上班”。~p 的充分条件,因而,可得命题公式: q的必要条件,因而,可得命题公式:q 命题表示公式(2)事件化为命题公式的步骤: (1)分析简单命题,将其符号化; (2)使用适当的联结词把简单命题连接起来。 例如: “如果我进城我就去看你,除非我很累。”设:p,我进城,q,去看你,r,我很累。 保送上北京大学。”设:p,应届高中生,q,保送上北京大学上学, r,是得过数学一等奖。t,是得过物理一等奖。 则有命题公式公式:p 2命题公式的解释定义:设A为一个命题公式,p 是出现在A中的全部原子命题,给原子命题各指定一个线),称 为对A的一个赋值或解释。 若A的值为真,则称为成真赋值。 命题逻辑基础基本等值式 交换率:pq 命题逻辑基础摩根率: 范式:公式的标准型式。定义:设A为一个公式 若A无成假赋值,则称A为重言式或永真式; 若A无成真赋值,则称A为矛盾式或永假式; 若A至少有一个成真赋值,则称A为可满足的; 简单合取式:有限个原子命题或其否定构成合取式。 简单析取式:有限个原子命题或其否定构成析取式。 析取范式:仅由有限个简单合取式组成的析取式。 合取范式:仅由有限个简单析取式组成的合取式。 范式的性质: 析取范式是矛盾式,当且仅当每个简单合取式是矛盾式。 合取范式是永真式,当且仅当每个简单析取式是永真式。 范式的转化 存在定理:任何命题公式都存在着与之等值的析取范式和合 取范式。 求合取范式的步骤: (1)消去多余的{,}以及联结词 (2)去掉否定~符号 (3)利用分配率 例:3.1,3.2 3.1.3命题逻辑的意义 把自然语言转化为形式语言,以利于计算机能够 处理。 例3.2:求的((PQ)R)P合取范式 3.1.4命题逻辑的推理规则(自然演绎推理)逻辑结论:对于AB,如果永真,则称B是A的逻辑结论, 即A推出B的结论正确,A为真则B为真,记为A=

  B。 常用的推理定律(永真式): 析取三段论:((AB)~A)=

  B假言三段论: 常用的推理规则:(1)前提引入规则 (2)结论引入规则 (3)置换规则:等价的可以置换 例3.4:证明:如果今天是下雨天,则要带伞或带雨衣。如果走 路上班,则不带雨衣。今天下雨,走路上班,所以带雨伞。 解:把题目用命题公式表示: 今天下雨p, 带雨衣r,走路上班s 前提: 析取三段论3.1.5命题逻辑的归结法 归谬法: 命题: 合取永假矛盾。 归结原理由J.A.Robinson由1965年提出。 与演绎法(deductive inference)完全不同,新的逻 辑演算(inductive inference)算法。 一阶逻辑中,至今为止的最有效的半可判定的算 法。即,一阶逻辑中任意恒真公式,使用归结原 理,总可以在有限步内给以判定。 语义网络、框架表示、产生式规则等等都是以推 理方法为前提的。即,有了规则已知条件,顺藤 摸瓜找到结果。 而归结方法是自动推理、自动推 导证明用的。(“数学定理机器证明”) 命题逻辑的归结法 子句集子句:子句是文字的集合,各个文字之间被析取分隔。 文字:原子命题或否定被称为文字。 合取范式:命题、命题或的与, ,并将中余下的部分按析取关系构成一个新子句C 12 ,这个过程就叫归结。 如子句:C 12是亲本子句C 12,注意:反之不一定 不一定成立。 命题逻辑的归结法 归结过程 将命题写成合取范式 求出子句集 对子句集使用归结推理规则 归结式作为新子句参加归结 归结式为空子句 ,S是不可满足的(矛盾),原命 题成立。 (证明完毕)谓词的归结:除了有量词和函数以外,其余和 命题归结过程一样。 命题逻辑归结例题(1) 证明:(1)根据归结原理,将待证明公式转化成待归结命题公式: 命题逻辑归结例题(2)子句集为: (2,4归结)由上可得原公式成立。 3.2谓词归结原理基础 一阶逻辑 3.2.1基本概念 个体词:表示主语的词(客体、具体事物 或抽象的概念) 谓词:刻画个体性质或个体之间关系的 量词:表示数量的词谓词归结原理基础 小丽和小华是朋友。其中,“小王”、“工程师”、“我”、“花”、“8”、 “小丽”、“小华”都是个体词,而“是个工程师”、 “是个自然数”、“去买”、“是朋友”都是谓词。显然 前两个谓词表示的是事物的性质,第三个谓词“去买”表 示的一个动作也表示了主、宾两个个体词的关系,最后一 个谓词“是朋友”表示两个个体词之间的关系。 谓词归结原理基础 个体常量:a,b,c 个体变量:x,y,z 谓词符号:P,Q,R 谓词:由谓词符号和个体(项)组成。例P(x,y) 一阶谓词:谓词中不含有谓词。 n元谓词:就是有n个项。 量词符号: 有的人活到一百岁以上。在个体域D为人类集合时,可符号化为: (1)xP(x),其中P(x)表示x是要死的。 其中Q(x)表示x活到一百岁以上。在个体域D是全总个体域时, 引入特殊谓词R(x)表示x是人,可符号化为: 其中,R(x)表示x是人;Q(x)表示x活到一百岁以上。3.2.2一阶谓词逻辑 1谓词公式 原子公式:单个谓词就是原子公式。 谓词公式:简单说就是由原子公式、连接词、否定符号以及量 词构成的式子。 指导变量:量词后面的变量称为指导变量。x 辖域:就是量词管辖的区域。约束出现:在辖域内,受量词约束的变量是约束出现。 自由出现:在辖域内,不受量词约束的变量是约束出现。 换名规则:将量词辖域中某个约束出现的个体变量改成在此辖域 中未出现过的个体变量符号。 替换规则:对某个自由变量用与原公式中所有个体变量符号不同的变量去替代,且处处替代。 xP(x,y)R(x,y)替换xP(x,z)R(x,z) 2.谓词公式的解释 对谓词公式的各变量常量去替代,就构成了一个谓词 公式的解释。 当存在解释能使谓词公式为真时,则称这个解释满足谓词公式。 这个解释就是这个谓词公式的模型。 两个谓词公式等价,当且仅当所有的解释下两个谓词公式的值 是相同的。 不可满足式归结原理就是对谓词公式的正确性证明转化为不可满足性证明。 3.2.3谓词演算与推理 1.谓词演算公式 量词否定等值式: 约束变量换名规则:(Qx)P(x) (Qy)P(y)(Qx)P(x,z) (Qy)P(y,z)量词辖域收缩与扩张等值式: 前束范式定义:说公式A是一个前束范式,如果A 中的一切量词都位于该公式的最左边 (不含否定词),且这些量词的辖域都 延伸到公式的末端。 把所有的量词都提到前面去,然后消掉所有量词 2谓词推理要运用与命题逻辑相同的推理规则和量词的消去和引入。 任意量词可以消去,用变量或常量表示,存在量词可以用 常量表示。 对于任意量词,x为自由变量,y为不在P中约束出现的 个体变量时: xP(x)=

  P(y) c为常量 xP(x)=

  P(c) 对于存在量词, xP(x)=

  P(c) 对于变量引入量词: P(y)=

  xP(y) 要求y在P(y)中自由出现,且为真,x不在P(y) 中约束出现。 P(c)=

  xP(x) 要求c是特定常量,取代c的x不能在P(c)中出现。 例3.10 20世纪70年代的漫画都是日本漫画家创作的, 这幅漫画是20世纪70年代的作品,因此这幅漫画 是日本漫画家的作品。 解:设P(x):x是20世纪70年代的漫画 Q(y):y日本漫画家的作品 一幅漫画前提 3.2.4谓词知识表示知识:是人们在认识、改造世界中经验的总结或者实 事的描述。 使用逻辑法表示知识,将自然语言描述的知识,通过 谓词、函数加以描述,获得逻辑谓词公式,进而利用 计算机进行处理。 例:校长与小李打网球。可以表示为: 定义: Play(x ,y,z)表示,x和y打z这种球 Play(zhang ,li,tennis) 清华是个大学 定义:Univ(x)表示x是大学 Univ(qinghua) 常用的可以用蕴含代表规则: 人人都受法律管制: Human(x)Lawed(x) 如果x犯罪则被惩罚 Commit(x)Punished(x) (Human(x)Lawed(x)) (Commit(x)Punished(x))应用谓词表示知识应用广泛: (1)易于用数据库存贮知识 (2)谓词具有完备逻辑推理方法 (3)表达的知识具有科学严密性 (4)逻辑推理具有知识的一致性 3.3谓词逻辑归结原理 3.3.1归结原理 命题: 成立,则B成立,反证法:证明A 3.3.2Skolem标准形 1.前束范式 Skolem标准形 消去前束范式中的所有量词的公式 量词消去原则: 消去存在量词“”,略去全程量词“”。 注意:左边有全程量词的存在量词,消去时该变 量改写成为全程量词的函数;如没有,改写成为 常量。 谓词归结子句形( Skolem 标准形) Skolem定理: 谓词逻辑的任意公式都可以化为与之 等价的前束范式,但其前束范式不唯 SKOLEM标准形定义:消去量词后的谓词公式。 注意:谓词公式G的SKOLEM标准形同G 并不等值。 谓词归结子句形( Skolem 标准形) 例:将下式化为Skolem标准形: 由此得到前述范式谓词归结子句形( Skolem 标准形) 第五步,消去“”(存在量词),略去“”全称量词 消去(y),因为它左边只有(x),所以使用x的函数 f(x)代替之,这样得到: 3.3.3子句集子句与子句集 文字:不含任何连接词的谓词公式。 子句:一些文字的析取(谓词的和)。 子句集S的求取: G是不可满足的

  S是不可满足的 G与S不等价,但在不可满足得意义下是一致的。 定理: 若G是给定的公式,而S是相应的子句集,则G是 不可满足的

  S是不可满足的。 注意:G真不一定S真,而S真必有G真。 的子句形G的字句集可以分解成几个单独处理。 在不可满足得意义上是一致的。 求取子句集例(1)例:对所有的x,y,z来说,如果y是x的父亲,z又是y 的父亲,则z是x的祖父。又知每个人都有父亲, 试问对某个人来说谁是它的祖父? 求:用一阶逻辑表示这个问题,并建立子句集。 解:这里我们首先引入谓词: ANS(x)表示问题的解答 求取子句集例(2) 对于第一个条件,“如果x是y 的父亲, y又是z 的父亲,则x y)ANS(x)则得到的相应的子句集为:{ 归结原理归结原理正确性的根本在于,找到矛 盾可以肯定不真。 方法: 和命题逻辑一样。 但由于有函数,所以要考虑合一和置换。 3.3.4置换与合一 置换:可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。 定义:置换是形如{t {g(y)/x,f(x)/y}不是一个置换,置换的合成 },是两个置换。则与的合成也是一个置换,记作。它是从集合 最后剩下的元素所构成的集合。合成即是对t 其中,f(b)/x中的f(b)是置换作用于f(y)的结果;y/y中的y是置换作用于z的结果。在该集合中,y/y满 足定义中的条件i,需要删除;a/x,b/y满足定义中 的条件ii,也需要删除。最后得 合一可以简单地理解为“寻找相对变量的置换,使两个谓词公式一致”。 },若存在一个置换,可使F 注意:一般说来,一个公式集的合一不是唯一的。最一般合一: 设δ是谓词公式集F,如果对F的任意一个合一θ都存在一个 置换λ使得θ=δλ,则称δ是一个最一般的合一mgu. 最一般合一求取方法:逐一比较找出不一致,并做合一置换 算法:对于F 中,转,否则不可合一 δk+1k=k+1转。 可证明若F F1和F2的最一般合一3.3.5归结式 要考虑变量的置换和合一 归结式:对两个无公共变量的字句 对于子句C1„L1和C2‟L2,如果L1与~L2可合 一,且s是其合一者,则(C1„C2‟)s是其归结式。其 中L1、L2是单文字。事实上L1、L2中有一个含有否定 符,所以对另一个加上否定符后,才能判断它们是否 可合一。 谓词的一致性,P()与Q(),不可以 不可以变量,P(a, 是不能同时消去两个互补对,PQ与~P~Q的空,不可以 先进行内部简化(置换、合并)3.3.6归结的过程 写出谓词关系公式 用反演法写出谓词表达式SKOLEM标准形 在谓词逻辑中,任何一个谓词公式都可以通过应用等价关系及推理规则化成相应的子句集。其化简步骤如下: 将每个否定符号“”移到仅靠谓词的位置,使得每个否定符号最多只作用于一个谓词上。 在一个量词的辖域内,把谓词公式中受该量词约束的变元全部用另外一个没有出现过的任意变元代替,使不同量词约束的 变元有不同的名字。 化为前束范式的方法:把所有量词都移到公式的左边,并且在移动时不能改变其相对顺序。由于第(3)步已对变元进行了标 准化,每个量词都有自己的变元,这就消除了任何由变元引起 冲突的可能,因此这种移动是可行的。 若存在量词不出现在全称量词的辖域内(即它的左边没有全称量词),只要用一个新的个体常量替换受该存在量词约 束的变元,就可消去该存在量词。 )替换受该存在量词约束的变元y,然后再消去该存在量词。 例如,上步所得公式中存在量词(y)和(z)都位于(x)的辖域内,因此都需要用Skolem函数来替换。设替换y和z的 Skolem函数分别是f(x)和g(x),则替换后的式子为 )是Skolem标准形的母式,它由子句的合取所构成。 由于母式中的全部变元均受全称量词的约束,并且全称量词的次序已无关紧要,因此可以省掉全称量词。但剩下的母式, 仍假设其变元是被全称量词量化的。 在母式中消去所有合取词,把母式用子句集的形式表示出来。其中,子句集中的每一个元素都是一个子句。 对子句集中的某些变量重新命名,使任意两个子句中不出现相同的变量名。由于每一个子句都对应着母式中的一个合 取元,并且所有变元都是由全称量词量化的,因此任意两个 不同子句的变量之间实际上不存在任何关系。这样,更换变 量名是不会影响公式的真值的。 例如,对前面的公式,可把第二个子句集中的变元名x更换为y,得到如下子句集 对于证明问题设F为前提的公式集,Q为目标公式集,用归结反 演证明的步骤: (1)否定Q,得到~Q (2)把~Q加入到公式集F,得到{F, ~Q}称为S (3)对S进行归结,归结到空子句为止。 例:求证:G是F1和F2的逻辑推论 F1:F2: 证明:化为子句集{P(a) 假设任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的,任何肯学习或幸运的人都可以通过所有的考试,张不肯学习但他是幸运的,任何幸运的 人都能获奖。求证:张是快乐的。 R1:“任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的”(x)((Pass(x, computer)Win(x, prize))Happy(x)) R2:“任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试”(x)(y)(Study(x)Lucky(x)Pass(x, R3:“张不肯学习但他是幸运的”~Study(zhang)Lucky(zhang) R4:“任何幸运的人都能获奖”(x)(Luck(x)Win(x,prize)) 结论:“张是快乐的”的否定~Happy(zhang) 例题“快乐学生”问题 (1)~Pass(x,computer)~Win(x, prize)Happy(x) 由R2:(2)~Study(y)Pass(y,z) 由R3:(4)~Study(zhang) 由R4:(6)~Lucky(w)Win(w,prize) 由结论:(7)~Happy(zhang)(结论的否定) (8)~Pass(w,computer)Happy(w)~Luck(w) (9)~Pass(zhang,computer)~Lucky(zhang) (10)~Pass(zhang, computer) (11)~Lucky(zhang) (10)(3) {zhang/u,computer/v} (11)(5)对于用归结原理求取问题答案 步骤: (1)把已知化为谓词公式并转化成子句集S 把待求解的问题用谓词公式表示,并否定之,然后和谓词ANSWER(x)构成析取式,x代表问题的 答案。

  [工学]人工智能第三章第三章 归结推理方法概述 命题逻辑的归结法 谓词归结子句形 归结原理 归结过程的策略控制 herbrand定理 311命题命题: 命题:能判断真假(不是既真又假)的陈述句。简单陈述句描述事实、事物的状态、关系等性质。 例如:1. 1+1=2 2. 雪是黑色的。 3. 北京是中国的首都。 4. 到冥王星去渡假。 命题通常用字母

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