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3归结推理方法 本科

发布时间:2019-08-09 08:06 来源:未知 编辑:admin

  归结推理方法本章主要讨论命题逻辑和一元谓词逻辑的归结推理方法。同学需要在熟练掌握一般逻辑知识 的基础上,学习Skolem标准形和Herbrand 定理,从而对归结原理有一个比较透彻的了解。 2010 HBUT2010/10/13 归结推理方法 3.0课前思考 3.1归结原理概述 3.2命题逻辑的归结 3.3谓词逻辑归结法基础 3.4归结原理 3.5归结过程控制策略 3.6Herbrand 定理 3.0 课前思考 【课前思考】 Herbrand定理和归结法之间的关系。 在命题逻辑中,归结法的逻辑基础是什么? 什么样的命题可以由归结法来证明? 谓词逻辑和命题逻辑的区别和联系是什么? 如何证明一个逻辑等式为真?什么是合取范式和析取范式? 什么是子句集?什么叫归结 什么叫归结策略【学习目标】 本章主要讨论命题逻辑和一元谓词逻辑的归结推理方法。同学需要在熟练掌握一般逻辑知识的基础上, 学习Skolem标准形和Herbrand 定理,从而对归结原理有一个比较透彻的了解。 【学习指南】 在学习新知识的同时回顾以前所学的一般逻辑知识。对所涉及的概念和方法不要死记硬背,对于比较 抽象的概念,可以通过比较简单的例子来理解。 【难重点】 应该熟练掌握把逻辑公式的合取范式、Skolem标准形的转化方法、归结法进行归结的过程,掌握线性 归结、支撑集归结等归结策略。 【知识点】 归结法的控制策略的原则及基本方法。3.1 归结原理概述 归结原理由J.A.Robinson 于1965 年提出,又称为消解原理。该原理是Robinson 在Herbrand 理论基础 上提出的一种基于逻辑的、采用反证法的推理方法。由于其理论上的完备性,归结原理成为机器定理证明 的主要方法。 定理证明的实质就是要对给出的(已知的)前提和结论,证明此前提推导出该结论这一事实是永恒的 真理。这是非常困难的,几乎是不可实现的。 要证明在一个论域上一个事件是永真的,就要证明在该域中的每一个点上该事实都成立。很显然,论 域是不可数时,该问题不可能解决。即使可数,如果该轮域是无限的,问题也无法简单地解决。 Herbrand 采用了反证法的思想,将永真性的证明问题转化成为不可满足性的证明问题。Herbrand 理论 为自动定理证明奠定了理论基础,而Robinson 的归结原理使得自动定理证明得以实现。因此,归结推理方 法在人工智能推理方法中有着很重要的历史地位。 从某种意义上讲大部分人工智能问题都可以转化为一个定理证明问题。 归结法的特点归结法是与演绎法完全不同的,新的逻辑演算算法。它是一阶逻辑中,至今为止的最有效的半可判定 的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑演算方法。 半可判定,即一阶逻辑中任意恒真公式,使用归结原理,总可以在有限步内给以判定(证明其为永真 归结法基本原理归结法的基本原理是采用反证法或者称为反演推理方法,将待证明的表达式(定理)转换成为逻辑公 式(谓词公式),然后再进行归结,归结能够顺利完成,则证明原公式(定理)是正确性的。 例如: 由命题逻辑描述的命题: A1、A2、A3 B,要求证明:如果A1ΛA2ΛA3 成立,则B 成立, 即:A1ΛA2ΛA3 是重言式(永真式)。归结法的思路是:A1ΛA2ΛA3 是重言式等价于A1ΛA2ΛA3Λ~B是矛盾式,也就是说永假式。 反证法:证明A1ΛA2ΛA3Λ~B 是矛盾式 归结法和其它推理方法的比较语义网络、框架表示、产生式规则等知识表示方法的推理都是以逻辑推理方法为前提的。也就是说如 果有了规则和已知条件,就能够依据一定的规则和公理顺藤摸瓜找到结果。 而本章所涉及的归结方法是计 算机自动推理、自动推导证明用的。同样的内容可以数学定理机器证明中找到。 注意:本课程只讨论一阶谓词逻辑描述下的归结推理方法,不涉及高阶谓词逻辑问题 本章首先介绍了命题逻辑的归结,并以此为基础介绍了谓词逻辑的归结过程及相关的思想、概念和定 义,最后给出了谓词逻辑归结的基础Herbrand 定理的一般形式。 3.2 命题逻辑的归结 3.2.1 命题逻辑基础 逻辑可分为经典逻辑和非经典逻辑,其中经典逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。归结原理是一种主要基于 谓词(逻辑)知识表示的推理方法,而命题逻辑是谓词逻辑的基础。因此,在讨论谓词逻辑之前,先讨论 命题逻辑的归结,便于内容上的理解。 本节中,将主要介绍命题逻辑的归结方法,以及有关的一些基础知识和重要概念,如数理逻辑基本公 式变形、前束范式、子句集等。 描述事实、事物的状态、关系等性质的文字串,取值为真或假(表示是否成立)的句子称作命题。 命题:非真即假的简单陈述句 在命题逻辑里,单元命题是基本的单元或作为不可再分的原子。下面所列出的是一些基本的数理逻辑 公理公式和一些有用的基本定义,如合取范式、子句集,这些公式和定义在归结法的推理过程中是必不可 少的,也是归结法的基础,应该熟练掌握。 数理逻辑的基本等值式-数理逻辑的基本定义 下面所列的是一些数理逻辑中重要的定义,在后面的分析中要用到: 合取式:p 无成假赋值,则称A为重言式或永真式; 至少有一个成真赋值,则称A为可满足的; 析取范式:仅由有限个简单合取式组成的析取式 合取范式:仅由有限个简单析取式组成的合取式 -数理逻辑的基本等值式 下面这些基本的等式在归结原理实施之前的公式转化过程中是非常重要的。只有将逻辑公式正确转换 成为归结原理要求的范式,才能够保证归结的正常进行。 交换律:pq -合取范式-子句集 -合取范式 范式:范式是公式的标准形式,公式往往需要变换为同它等价的范式,以便对它们作一般性的处理。 合取范式:单元子句、单元子句的或()的与()。 注意:首先一定要将原有的命题公式整理、转换成为各个或语句的与,不然后续推导没有意义。转换是基于数理逻辑的基本等值公式进行的,或转换到与中。思路与代数学的提取公因式方法相似。 -子句集 命题公式的子句集S 是合取范式形式下的子命题(元素)的集合。 子句集是合取范式中各个合取分量的集合,生成子句集的过程可以简单地理解为将命题公式的合取范 式中的与符号,置换为逗号,。 上例转换的合取范式:(~PSQ) 我们首先介绍命题逻辑下的归结方法,可使读者对归结过程一目了然。进而给出由Herbrand 定理描述的 一阶逻辑的半可判定算法,接着介绍本章的中心内容――归结方法,最后讨论几种非归结方法。 3.2.2 命题逻辑的归结 归结法推理的核心是求两个子句的归结式,因此需要先讨论归结式的定义和性质。 设有由命题逻辑描述的命题 定理(重言式),这就是我们的问题。如何建立推理规则,来证明这个定理是我们的任务。 很显然, 的成立。这种方法可称作反演推理方法。建立子句集 为使用归结方法,首先要把 合取范式与S不同的仅是以,代替了。 中的每个元素为一个子句,P,QR,~P~Q,P~QR都是子句。而S 称为对应于 的子句集。归结式的定义 C2是子句集中的任意两个子句,如果 中余下的部分按析取关系构成一个新子句C12 ,则称这一个过程为归 12的亲本子句。 例如:有子句:C 从中消去互补对,则可得归结式:C12 没有互补对的两子句没有归结式。归结推理规则就指的是对两子句做归结,也即求归结式。注意:C 反之不一定成立。下面证明归结式是原两子句的逻辑推论,或者说任一使 为真,从而~P为假,必有 12为真。于是C 就为假了。因此反之不一定成立。由此可得归结式的性质。归结式的性质:归结式C 12 是亲本子句C 的逻辑结论。证明二: ,由归结可得:C12 12的亲本子句。 因为 12所以 则B,A,所以,B;如果A则B,并非B,所以, 并非 A。这两种形式也可以改述为两条规则:承认前件就承认后件;否认后件就否认前件。在日常思 维中容易发生的错误是从如果 B,并非A推出并非B。例如,从如 整除的推出4是偶数。古代的逻辑学家还发现了一 些重要的与假言命题有关的推理形式,如假言连锁推理,即旧称纯假言三段论,其形式为:如果 如果B则C,所以,如果A S1的不可满足性S 的不可满足性 其中S1 12替代C S2的不可满足性=S 的不可满足性 其中S2 12加入S 后得到的新子句集//// 命题逻辑的归结法证明过程 命题逻辑的归结过程也就是推理过程。推理是根据一定的准则由称为前提条件的一些判断导出称为结 论的另一些判断的思维过程。命题逻辑的归结方法推理过程可以分为如下几个步骤: 建立待归结命题公式首先根据反证法将所求证的问题转化成为命题公式,求证其是矛盾式(永假式)。 归结归结法是在子句集S 的基础上通过归结推理规则得到的,归结过程的最基本单元是得到归结式的过程。 从子句集S 出发,对S 的子句间使用归结推理规则,并将所得归结式仍放入到 中(注意:此过程使得子句集不断扩大,是造成计算爆炸的根本原因),进而再对新子句集使用归结推理规则。重复使用这些规则 直到得到空子句• 。这便说明S 是不可满足的,从而与S 所对应的定理是成立的。 归结步骤: 1)对子句集中的子句使用归结规则 归结式为空子句为止。 (证明完毕) 得到空子句,表示S 是不可满足的(S 中存在矛盾),故原命题成立。 例题2-1证明公式: 证明:根据归结原理将待证明公式转化成待归结命题公式: Q,(1,3归结) e,(2,4归结) 由上可得原公式成立。 谓词的归结:除了有量词和函数以外,其余和命题归结过程一样。 3.3 谓词逻辑归结法基础 由于谓词逻辑与命题逻辑不同,有量词、变量和函数,所以在生成子句集之前要对逻辑公式做处理, 具体的说就是要将其转化为Skolem标准形,然后在子句集的基础上再进行归结,虽然基本的归结的基本方 法都相同,但是其过程较之命题公式的归结过程要复杂得多。 本节针对谓词逻辑归结法介绍了Skolem标准形、子句集等一些必要的概念和定理。 子句形 设有由一阶谓词逻辑描述的公式 成立的条件下有B成立。仍然采 用反演法来证明 是不可满足的。和命题逻辑不同,首先遇到了量词问题,为此要将 化成SKOLEM 标准形,进而 建立子句集,方可使用 Herbrand 定理和归结原理来证明 成立。3.3.1 Skolem 标准形 Skolem标准形的定义: 前束范式中消去所有的存在量词,则称这种形式的谓词公式为Skolem标准形,任何一个谓词公式都可 以化为与之对应的Skolem标准形。但是,Skolem标准形不唯一。 前束范式:A 是一个前束范式,如果 中的一切量词都位于该公式的最左边(不含否定词),且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。 Skolem标准形的转化过程为,依据约束变量换名规则,首先把公式变型为前束范式,然后依照量词消 去原则消去或者略去所有量词。具体步骤如下: 将谓词公式G 转换成为前束范式 前束范式的形式为: 把所有的量词都提到前面去。注意:由于所有的量词的辖域都延伸到公式的末端,即,最左边量词将约束表达式中的所有同名变量。 所以将量词提到公式最前端时存在约束变量换名问题。要严守规则。 消去量词量词消去原则: 消去存在量词,即,将该量词约束的变量用任意常量(a, 等)代替。如果存在量词左边没有任何全称量词,则只将其改写成为常量;如果是左边有全程量词的存在量词,消去时该变量改写成为全程量词的函数。 略去全程量词,简单地省略掉该量词。 Skolem 定理: 谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式,但其前束范式不唯一。 注意:公式G 的SKOLEM 标准形同G 并不等值。 3.3.2子句集 文字:不含任何连接词的谓词公式。 子句:一些文字的析取(谓词的和)。 子句集:所有子句的集合 对于任一个公式G,都可以通过Skolem标准形,标准化建立起一个子句集与之相对应。因为子句不过 是一些文字的析取,是一种比较简单的形式,所以对G 的讨论就用对子句集S 的讨论来代替,以便容易处 子句集S可由下面的步骤求取: 谓词公式G转换成前束范式 消去前束范式中的存在变量,略去其中的任意变量,生成SKOLEM标准形 将SKOLEM标准形中的各个子句提出,表示为集合形式 提示:为了简单起见,子句集生成可以理解为是用,取代 SKOLEM 标准形中的Λ,并表示为集合 形式 注意:SKOLEM标准形必须满足合取范式的条件。即,在生成子句集之前逻辑表达式必须是各谓词 表达式或谓词或表达式的与。 定理谓词表达式G 是不可满足的当且仅当 其子句集S 是不可满足的 公式 并不等值,但它们在不可满足的意义下是一致的。因此如果要证明A1A2A3B,只需证明G= A1A2A3~B 的子句集是不可满足的,这也正是引入子句集的目的。 注意:公式G 和子句集S 虽然不等值,但是它们的之间一般逻辑关系可以简单的说明为:G 真不一定 G。在生成SKOLEM标准形时将存在量词用常量或其他变量的函数代 替,使得变量讨论的论域发生了变化,即论域变小了。所以G 不能保证S 定理的推广:对于形如G 的谓词公式,G的子句集的求取过程可以分解成几个部分单独处理。如 ,虽然G的子句集不为S,但是可以证明:S 3.4归结原理 本节在上节的基础上,进一步具体介绍谓词逻辑的归结方法。谓词逻辑的归结法是以命题逻辑的归结 法为基础,在Skolem标准性的子句集上,通过置换和合一进行归结的。 下面先介绍一些本节中用到的必要概念: 一阶逻辑:谓词中不再含有谓词的逻辑关系式。 个体词:表示主语的词 谓词:刻画个体性质或个体之间关系的词 量词:表示数量的词 个体常量:a,b,c 个体变量:x,y,z 谓词符号:P,Q,R 量词符号: 归结原理正确性的根本在于,如果在子句集中找到矛盾可以肯定命题是不可满足的。3.4.1 置换与合一(Substitution Unification)置换是形为 {t1/v1,…,tn/vn} 的一个有限集。其中vi 是变量而ti 是不同于vi 的项(常量、变量、函数),且vivj(ij),i,j=1,2,…,n。 置换:置换可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。 例如{a/x,b/y,f(x)/z},{f(z)/x,y/z}都是置换。 不含任何元素的置换为空置换,以ε 表示。 之间出现了循环置换现象。置换的目的是要将某些变量用另外的变量、常量或函数取代,使其不在公式中出现。但在{g(y)/x,f(x)/y}中,它用g(y)置换x,用 f(g(y))置换y,既没有消去x,也没有消去y。若改为{g(a)/x,f(x)/y}就可以了。 置换可作用于某个谓词公式上,也可作用于某个项上。令置换θ={t1/v1,… ,tn/vn},而E 是一谓词公式, 那么θ 作用于E,就是将E 中出现的变量vi 均以ti 代入(i=1, …,n),结果以Eθ 表示,并称为E 的一个例。θ 作用于项t 也是将t 中出现的变量vi 以ti 代入(i=1, …,n),结果以tθ 表示。 显然,若E是子句集S 的一个子句,置换θ 的v1,…,vn 含有E 的所有变量,ti 又是H 的元素时,Eθ 便是S 的子句E θ={t1/x1,…,tn/xn}λ={u1/y1,…,um/ym} 置换的乘积θλ 是个新的置换,作用于E 相当于先θ 的作用。为此可如下定义先作置换 {t1λ/x1,…,tnλ/xn ,u1/y1,… ,um/ym} 当tiλ=xi 时,删去tiλ /xi ii.当yi{x1,x2, 是置换λ作用于z 的结果。在 该集合中,y/y 满足定义中的条件i,需要删除;a/x,a/y 满足定义中的条件ii,也需要删除。最后 但交换律是不成产的。下面介绍合一的概念,设有公式集合{E1,…,Ek}和置换θ,使 E1θ= E2θ= …=Ekθ 便称E1,…,Ek 称为合一置换。合一:合一可以简单地理解为寻找相对变量的置换,使两个谓词公式一致。 若E1,…,Ek 有合一置换σ 且对E1,…,Ek 的任一合一置换θ 都有置换λ 存在使得 E1,…,Ek的最一般合一置换,记作 mgu 的mgu,也可以说E1,E2 mgu是最简单的合一置换。 E1=P(x)E2=P(y) 显然{y/x}和{x/y}都是E1,E2 mgu并不是唯一的。 对给定的公式E1,E2 来说,采用逐一比较找出不一致,并作相应的合一置换的办法便可求得 mgu mgu算法 如果Wk已合一,停止,σk =mgu 否则找不一致集Dk 若Dk中存在元素vk,tk,其中vk 不出现于tk 中做(5),否则不可合一 k+1转(3)可证明若E1,E2 可合一,算法必停于(3)。 mgu。依算法 W0未合一,从左到右找不一致集,有D0={a,z}。 σ1=σ0(t0/v0)={a/z}W1=W0 W1未合一,从左到右找不一致集,有D1={x,f(a)} W2未合一,从左到右找不一致集,有D2={g(y),u} W3已合一,这时σ3={a/z,f(a)/x, 算法的第4步,当出现不存在vk 出现不一致集为{x,f(x)}形。这都会导致不可合一。3.4.2 归结式 在谓词逻辑下求两个子句的归结式,和命题逻辑一样消互补对,但需考虑变量的合一与置换。 是两个无公共变量的子句,L1、L2分别是 的文字,如果L1 与~L2 有mgu -{L2σ})称作子句 的一个二元归结式,而L1、L2为被归结的文字。 这里使用了集合的符号和运算,是为了说明的方便。要将子句Ciσ、Liσ 先写成集合形式,如P(x)~ Q(y)改写为{P(x),~Q(y)}。在集合的表示下作减法和作并集运算,然后再写成子句形,如集合运算结果 的不可满足性了,这就限制了归结法的使用范围,如果对C1或C2 的变量使用易名规则,便可将 C1、C2 化成无共同的变量了。这是没问题的,如S={P(x)Q(y),R(y)Q(y)}其逻辑表示是 有关变量作mgu,再消去互补对。同样有 先将的变量改写为y,便可对 逻辑推论了。所以消两个互补对的结果不是二元归结式。在对子句作归结前,可先考虑子句内部的化简,这便提出了子句因子概念。 置换σ使用于C,可使P(x),P(f(y))合一,Cσ 来得简单了。如果一个子句C 的几个文字有mgu σ,那么C 称作子句C的因子。 定义 的因子和的二元归结式 的因子和的因子的二元归结式 这四种二元归结式都叫子句 得C1的因子 的推理仍是正确的。3.4.3 归结过程(10204-1) 为证明AB,其中A,B 是谓词公式。使用反演过程,先建立 进而做出相应的子句集S,只需证明S是不可满足的。 归结法是仅有一条推理规则的推理方法。对 中的可归结的子句做归结,求得归结式,并将这归结式(新子句)仍放入 )所以这个矛盾的原因必在S,或说S 本身有矛盾,也就是 必是不可满足的。谓词逻辑的归结过程与命题逻辑的归结过程相比,其基本步骤相同,但每步的处理对象不同。谓词逻 辑需要把由谓词构成的公式集化为子句集,必要时在得到归结式前要进行置换和合一。 具体的谓词逻辑归结过程如下: 写出谓词关系公式 用反演法写出谓词表达式 化为SKOLEM 标准形 求取子句集S 中可归结的子句做归结归结式仍放入S 中,反复归结过程 得到空子句 命题得证 例题 快乐学生问题: 假设任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的,任何肯学习或幸运的人都可以通过所有的考试,张 不肯学习但他是幸运的,任何幸运的人都能获奖。求证:张是快乐的。 先将问题用谓词表示如下:R1:任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的 x)((Pass(x,computer)Win(x, prize))Happy(x)) R2:任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试 R3:张不肯学习但他是幸运的~Study(zhang)Lucky(zhang) R4:任何幸运的人都能获奖 x)(Luck(x)Win(x,prize))结论张是快乐的的否定 ~Happy(zhang) 将上述谓词公式转化为子句集并进行归结如下: 首先将每一个表示逻辑条件的谓词子句转换为子句集可以接受的Skolem标准形。 由R1 及逻辑转换公式:PWH ~Pass(x,computer)~Win(x, prize)Happy(x) 由R2 可得 ~Lucky(u)Pass(u,v)由R3 可得 Lucky(zhang)由R4 可得 ~Lucky(w)Win(w,prize)由结论可得 ~Happy(zhang)结论的否定 根据以上7 条子句,归结如下: ~Pass(w,computer)Happy(w)~Luck(w) (1),(6)归结,{w/x} ~Pass(zhang,computer)~Lucky(zhang) (8),(7)归结,{zhang/w} (10) ~Pass(zhang, computer) (9),(5)归结 (11) ~Lucky(zhang) (10),(3)归结,{zhang/u, computer/v} (12) (11),(5)归结结论

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